آزمون واگراییاز جمله آزمون های پر کاربرد در تعیین وضعیت همگرایی سریها آزمون واگرایی است که بیان می کند:
اگر یک سری باشد و داشته باشیم:

آنگاه سری واگرا است. در واقع ای شرط شرطی کافی برای واگرایی یک سری است
اساس این آزمون را قضیه زیر تشکیل می دهد:
  • قضیه: اگر سری همگرا باشد آنگاه
برهان: می دانیم بین مجموع جزیی سری و جملات آن چنین رابطه ای برقرار است:

حال فرض می کنیم سری فوق به عددی حقیقی چون L همگرا باشد در این صورت:

چون حذف تعداد متناهی جمله از جملات سری در همگرایی و مقداد همگرایی تاثیر ندارد.
پس داریم:


و حکم ثابت می شود.
  • لازم به توضیح است که عکس این قضیه برقرار نمی باشد و اگر در این سری حد برابر صفر باشد نمی توان گفت لزوماً سری همگرا است، و این شرط سرطی لازم (و نه کافی) برای همگرایی یک سری است.
حال می دانیم عکس نقیض هر قضیه هم برقرار است(به طور کلی عکس نقیض گزاره با آن گزاره هم ارز است(چرا؟)) پس از عکس نقیض قضیه فوق داریم:
اگر سری حد مخالف صفر باشد(یا حتی موجو نباشد یا نامتناهی باشد) سری واگرا است.

به عنوان مثال در سری چون پس سری واگرا است.


آزمون مقایسه

آزمون مقایسه از جمله آزمونهایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سریها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:
  • آزمون مقایسه نوع اول:
این آزمون بیان می کند اگر یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی C (غیر وابسته به n) چنان موجود باشد که آنگاه سری هم همگرا است.
همچنین اگر سرییک سری واگرا باشد وآنگاه سرییک سری واگرا است.
به طور خلاصه می توان گفت اگر دو سری و را داشته باشیم که آنگاه:
  • اگر سری همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.

  • آزمون مقایسه نوع دوم:
نوع دیگری از آزمون مقایسه به این صورت است که اگر سری همگرا باشد و عددی حقیقی چون C غیر وابسته به n به گونه ای موجود باشد که آنگاه سری همگرا است.
همچنین اگر سری واگرا باشد و آنگاه سری نیز واگر است.
به طور خلاصه اگر و دو سری باشند کهآنگاه:
  • اگر همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.
این بیان از این آزمون بر اساس آزمون نسبت دالامبر نتیجه گرفته شده است.
  • حال با ارائه چند مثال روش انجام آزمون را برسی می کنیم:
می خواهیم وضعیت همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم به ازای n>3 داریم: پس در نتیجه داریم
و چون سری همگرا است پس سری هم همگرا است.

حال می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم که پس از طرفی می دانیم سری سری هارمونیک است و واگرا است پس در نتیجه سری نیز واگرا است.

آزمون مقایسه حدی:

از دیگر آزمونها در زمینه تشخیص همگرایی سری ها آزمون مقایسه حد است. این آزمون بیان می کند:
اگر و دو سری با جملات مثبت باشند اگر موجود و مخالف صفر باشد آنگاه دو سری مورد نظر از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند یعنی یا هر دو واگرا و یا هر دو همگرا هستند.

  • با بیان یک مثال روش استفاده را توضیح می دهیم:
می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم.
می دانیم که سری سری هارمونیک است و یک سری واگرا است. حال داریم:


پس دو سری فوق از نظر هگرایی همانند همدیگر هستند و چون سری واگرا است پس سری هم واگرا است.

آزمون انتگرال:

آزمون انتگرال از جمله آزمونهای همگرایی سری ها است که برای سریهایی با جملات نامنفی کاربرد دارد. این آزمون برای اولین بار در قرن چهاردهم توسط مدهاوا ریاضیدان هندی مطرح شد و بعدها توسط ریاضیدانان اروپایی چون کوشی و... گسترش پیدا کرد و به همین دلیل گاهی به عنوان آزمون کوشی-مک لورن یا آزمون انتگرال کوشی یا آزمون انتگرال مک لورن، نیز نامیده می شود.

آزمون انتگرال

اگر یک سری نا متناهی باشد و تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه به گونه ای باشد که و آنگاه سری و انتگرال غیر عادی , هر دو از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند.
همچنین بیانی ساده تر از این آزمون نیز به این صورت موجود است به این ترتیب که سری نامتناهی با جملات نا منفی همگرا است اگر و تنها اگر حاصل متناهی باشد. که در آن f تابعی نزولی تعریف شده در بازه است که . حال اگر انتگرال واگرا باشد انگاه سری نیز واگرا است.
  • با ارائه چند مثال روش استفاده از این آزمون را بررسی می کنیم:
می خواهیم همگرایی سری هارمونیک را با آزمون انتگرال بررسی کنیم. تابع نزولی و پیوسته در بازه است و داریم: همچنین این تابع تابعی است که برای هر n جملات سری هارمونیک را تولید می کند. پس می توان برطبق آزمون انتگرال سری هارمونیک و انتگرال غیر عادیاز نظر همگرایی مانند همدیگر هستند که در آن .
حال داریم:


پس انتگرال غیر عادی فوق واگرا است لذا بر طبق آزمون انتگرال سری هارمونیک واگرا است.

حال می خواهیم همگرایی سری بررسی کنیم. تابع را در نظر بگیرید. این تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه است. همچنین برای هر n طبیعی داریم: پس این تابع برای مقادیر طبیعی جملات سری را تولید می کند و داریم:
پس با بررسی شرایط آزمون انتگرال می توان گفت سری از نظر همگرایی با انتگرال غیر عادی وضعیت یکسانی دارند. که در آن t عددی در بازه است.
حال داریم:


پس انتگرال غیر عادی برابر یک مقدار عددی متناهی است و همگرا است لذا سری مورد نظر هم همانند این انتگرال همگرا است.

البته لازم به توضیح است که سری یک p-سری است که در آن p=2 است پس بدون انجام آزمون می توان گفت این سری همگرا است.

آزمون نسبت دالامبر:

آزمون نسبت معیاری است برای تعیین وضعیت همگرایی یا واگرایی سریهایی با جملات حقیقی یا مختلط.
این آزمون نخستین بار توسط دالامبر مطرح گردید و به همین دلیل به آن آزمون نسبت دالامبر یا به اختصار آزمون دالامبر می گویند، همچنین این آزمون گاهی با عنوان آزمون نسبت کوشی هم گفته می شود.
این آزمون بیان می کند:
اگریک سری باشد و داشته باشیم: آنگاه:
  • اگر باشد سری همگرا است.
  • اگر باشد سری واگرا است.
  • اگر باشد آنگاه آزمون بی نتیجه است و برای تشخیص وضعیت همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.

  • با ارائه چند مثال از حالات مختلف روش کار را به صورت عملی نشان می دهیم:
  • به عنوان مثال وضعیت همگرایی سری را با این آزمون بررسی می کنیم:

بنابراین چون L<1 است پس سری فوق همگرا است.
  • حال می خواهیم وضعیت همگرایی این سری را بررسی کنیم:
داریم:

بنابراین چون L>1 است پس سری فوق واگرا است.
  • حال یک مورد را بررسی می کنیم که در آزمون دالامبر بی نتیجه باشد. یعنی نتوانیم بوسیله این آزمون وضعیت همگرایی را تعیین کنیم. به عنوان مثال دنباله را در نظر بگیرید. بر طبق دستور آزمون داریم:

بنابراین چون L=1 است پس آزمون دالامبر بی نتیجه است و برای تعیین همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.